X⁹ = x Trovare le 9 soluzioni.

Jod

X⁹ = x
Trovare le 9 soluzioni.

zeunig356

Nel campo reale immagino solo -1, 0 e 1.

Le altre saranno complesse. Vediamo

z⁹ - z = 0
z(z⁸ - 1) = 0
z(z⁴ + 1)(z⁴ - 1) = 0
z (z⁴ + 1) (z² + 1) (z-1)(z + 1) = 0

e abbiamo quindi -1,0,1

le radici quadrate di -1 che sono -i e i
le radici quarte di -1 = e^i*pi che si calcolano con la formula di De Moivre

sulla quale non voglio perdere tempo ora

ퟀퟀퟀퟀퟀퟀퟀퟀ.̅̿ͯͤ͆ͥͧ͆̓͋͒.̿̈́̐́̒͆́̓̃̅ͤ͋̂ͦ̐ͥ͌̈́͒s̏̍a̓̋̐ͫw̓.̅̿ͯͤ͆ͥͧ͆̓͋͒̈́͛ͥ͆.̿̈́̐́̒ퟀퟀퟀퟀퟀퟀퟀퟀ

Questa espressione dimostra che nella vita non esiste una sola soluzione a un problema, ma a volte possono essercene fino a 9.

Jod

L'equazione x⁹ = x
Per prima cosa, portiamo tutti i termini al primo membro:
x⁹ - x = 0
Ora, mettiamo in evidenza la x:
x(x⁸ - 1) = 0
A questo punto, per il principio di annullamento del prodotto, abbiamo due possibilità:

x = 0: Questa è una soluzione immediata.
x⁸ - 1 = 0: Risolviamo questa equazione:
x⁸ = 1
Le soluzioni di questa equazione sono le radici ottave dell'unità. In altre parole, sono i numeri complessi che, elevati all'ottava potenza, danno 1.
Le radici ottave dell'unità sono:
1, -1, i, -i, √2/2 + i√2/2, -√2/2 + i√2/2, -√2/2 - i√2/2, √2/2 - i√2/2
Quindi, le 9 soluzioni dell'equazione iniziale sono:
0, 1, -1, i, -i, √2/2 + i√2/2, -√2/2 + i√2/2, -√2/2 - i√2/2, √2/2 - i√2/2
In conclusione:
L'equazione x⁹ = x ha 9 soluzioni, di cui due reali (0 e 1) e sette complesse (le radici ottave dell'unità).
Perché ci sono così tante soluzioni?
Questo perché quando eleviamo un numero a una potenza elevata, come in questo caso la nona potenza, stiamo in qualche modo "avvolgendo" il numero complesso sulla circonferenza unitaria del piano complesso. Esistono quindi più numeri che, elevati a questa potenza, ci riportano allo stesso punto di partenza (in questo caso, 1).