Provare convergenza intentale improprio

NameNick321

Intanto penso che lo devo spezzare in due integrali senza il valore assoluto in questo modo e studiare la convergenza dei due integrali separatamente. Converge se convergono entrambi. Nel primo integrale si ha come punto critico -1 da destra mentre nel secondo il +inf perché 0 non è punto critico, non annulla il denominatore.

La parte relativa al +inf credo di averla fatta, anche se non so se va bene così. La stima asintotica deve essere giusta però come faccio a essere certo che 1/ e^2x è un integrale convergente? Dovrei trovare le primitive a fare il calcolo col limite, ma questo non è un modo per provare la convergenza quindi boh. Mentre per -1^+ non so cosa si prende come stima. @Giulio_M @zeunig356

Giulio_M

NameNick321 sì, così direi che è corretto (suddividere l'integrale in due, essendoci il valore assoluto).
L'integrale di 1/e^2x giustamente converge, a parte la convergenza asintotica lo puoi anche facilmente risolvere, è immediato: dato che è uguale a e^-2x, la sua primitiva è -(1/2)e^-2x che risolto fra 0 e +inf risulta -(1/2)(0-1) = 1/2.
Quindi ti manca l'integrale fra -1 e 0 di -(e^x-1)/(e^2x(e^x+1)). Lo puoi riscrivere come: -(1-2/(e^x+1))/e^2x. Avendolo spezzato in due, un integrale è sempre immediato (lo stesso integrale visto prima) mentre l'altro ovvero -2e^-2x/(e^x+1) credo convenga risolverlo con il metodo per parti, poi una volta trovata la primitiva sostituisci gli estremi 0 e 1.
Ho fatto prima a risolverlo online, questo secondo integrale me lo da pari a -2x+e^-2x+2ln(e^x+1). Sostituendo 0 e 1 comunque non hai punti critici, il valore è finito.

PipperoIlRitorno

La soluzione è 6ab²

NameNick321

Giulio_M fra -1 e 0 di -(ex-1)/(e2x(ex+1))

Io il meno l’ho portato fuori quindi alla fine all’interno dei due integrali ho sempre la stessa funzione integranda perché sono uguali, a parte per il segno che si può uscire. Ma ad ogni modo come provo la convergenza da -1 a 0 senza calcolare l’integrale? La stima asintotica per +inf fa 1/ e^2x , ma per -1^+ quanto vale ?

Giulio_M

NameNick321 per x=-1 non è un limite, ma semplicemente una sostituzione:
(e^-1-1)/(e^-2(e^-1+1)) = e²(1-e)/(1+e) = -3,416...