Spiegazione limite

NameNick321

lim n—>+inf di nⁿ⁺¹ / (n!) = +inf

Ma teoricamente per la gerarchia “n!” non è quello più forte di tutti, anche più dell’esponenziale? Dunque non dovermene essere ../+inf = 0 ?

NameNick321

NameNick321 @zeunig356 @Giulio_M

Giulio_M

NameNick321 eh, non proprio! Dall'approssimazione di Stirling:
$approssimazione di Stirling, fattoriale$
Quindi in questo tuo esercizio, nⁿ⁺¹ = n * nⁿ e riscrivi il fattoriale con questa approssimazione (tanto più accurata quanto più vai ad infinito), vedi che è inferiore a nⁿ quindi è corretto che il limite tenda ad infinito.
Diciamo che il fattoriale "vince su tutto" il resto (eⁿ, ecc) ma è un po' inferiore a nⁿ, come vedi dall'approssimazione di Stirling.

NameNick321

Giulio_M quindi per la gerarchia il più forte di tutti è nⁿ mentre il secondo è n! e ancora più sotto eⁿ , ancora più sotto n^e ?

NameNick321

Giulio_M potresti dirmi perché

x² / [radice (9-x²) ] è ~ 9/rad6 * 1/ [rad(3+x)] per x che tende a -3^+ ?
Che sviluppo sarebbe? 😭
Con questo non è ho proprio idea uffff

Giulio_M

NameNick321 sì, confermo. N^N vince su tutto, il fattoriale si avvicina ma è un po' inferiore rispetto a N^N, come visto appunto dall'approssimazione di Stirling.

NameNick321 √(9-x²) lo riscrivi come √(3+x) * √(3-x), mentre 9/√6 equivale a √(27/2), quindi puoi scrivere:
x²/√(3-x) = √(27/2)
Quindi se sostituisci x=-3, hai x²/√6 = √(27/2), ovvero x² = √ (27 * 6 / 2) = √81 = 9; x²=9 quindi x = ±3, in questo caso avevi x=-3, relazione verificata!

NameNick321

Giulio_M ma quindi non si usano gli sviluppi di Taylor?

Giulio_M

NameNick321 in questo caso no, non è necessario. Teoricamente lo puoi fare, ma è inutile stare a fare sostituzioni (dato che x tende a -3, non a 0), per poi linearizzare la radice... Essendoci termini che si semplificano in questo modo, è molto più comodo.