Serie numerica con parametro

NameNick321

{[ n + ln (n) ]* n^alfa } / [ 1/n - sin(1/n) ]

Al variare di alfa appartenente ad R
@Giulio_M @zeunig356

NameNick321

NameNick321 questa è giusta @Giulio_M ?

𓃠•Gigi•𓃠

Chiamo Giulio e lo faccio connettere.
Abbi solo 5 minuti di pazienza.

NameNick321

𓃠•Gigi•𓃠 grz fortunatamente giulio è abbastanza disponibile oggi!

Giulio_M

NameNick321 sì, è corretta.
A numeratore n > ln(n) quindi trascuri il logaritmo. A denominatore linearizzi il seno al terzo ordine, quindi:
n^alfa+1/(1/(6n³)) = 6n^alfa+4
La condizione di convergenza è alfa+4<-1 quindi alfa<-5 mentre diverge positivamente per alfa>=-5.
L'esercizio mi è sembrato molto simile a questo: serie numerica con parametro.

NameNick321

Giulio_M potresti dirmi perché ln(1+eⁿ) - n )( (1/eⁿ)

È un altro esercizio. Non credo sia Taylor perché eⁿ fa +inf per n—>+inf e non 0. Non ho capito come ci si arriva

Giulio_M

NameNick321 quindi vuoi studiare la convergenza di ln(1+eⁿ) - n )( (1/eⁿ), la puoi suddividere nei due termini e converge perché il primo termine è ln(1+eⁿ)/eⁿ ~ ln(eⁿ)/eⁿ = n/eⁿ < 1/n², convergente; il secondo termine -n/eⁿ < 1/n², convergente.
In modo analogo all'altro esercizio che abbiamo visto, somma di due seri convergenti (quindi tramite criterio del confronto), converge.

NameNick321

Giulio_M quindi vuoi studiare la convergenza di ln(1+en) - n )( (1/en)

No, no.

Ho solamente ln (1 + eⁿ) - n

E devo provare che questa quantità è “equigrande” , cioè il simbolo )( ad 1/eⁿ per n che tende a +inf

)( sarebbe come ~ solo che se ad esempio hai ₁/6 * n² anziché scrivere questo, scrivi invece )( n² cioè trascuri i coefficienti finiti, se ci sono, cioè usi )( al posto di ~ dove con ~ metti anche i vari coefficienti tipo quelli degli sviluppi mentre con )( metti direttamente la parte variabile trascurando i coefficienti che tanto sono “inutili” per queste stime asintotiche.

Dunque va fatta la stima di [ ln(1 + eⁿ) - n ] per n che tende a +inf

Il risultato di questa stima è 1/eⁿ ma non so come arrivarci. Applicando la formula di Taylor non viene.

Giulio_M

NameNick321 ah cavoli, non sapevo questa sottigliezza, avrei semplicemente usato ~ ovvero asintotico.
Prova a riscriverlo così:
ln(1+eⁿ) - ln(eⁿ) = ln(e^{e^-n}), quindi:
ln(e^-n+1) = ln(e^{e^-n}), ora togliamo i logaritmi:
e^-n+1 = e^{e^-n}
Graficamente se fai (e^-n+1) / e^{e^-n} tende ad 1 per n-->+inf, quindi è corretto. Possiamo dire che il denominatore tende ad 1 perché e⁰=1, il numeratore hai +1 dato che e^-n tende a zero, quindi 1/1=1.
Certo a posteriori si può verificare così, di fatto è come fare un limite. Partendo dalla funzione di partenza però, non saprei come arrivarci.