Dubbio criterio confronto asintotico integrale improprio

NameNick321

Perché per x che tende a + inf al denominatore spunta e^x ?? Cosa c’entra col sinh. Perché si fa così?

Giulio_M

NameNick321 diamine, centra eccome!! Per definizione:

sinh(x) = (e^x-e^-x)/2
cosh(x) = (e^x-e^-x)/2
cosh(x)² - sinh(x)² = 1

Quindi per x-->inf, sinh(x) ~ (1/2)e^x dato che il termine e^-x tende a zero ed è trascurabile rispetto a e^x che tende invece ad infinito. Sarebbe più corretto considerare anche il termine 1/2, che essendo a denominatore alla fine arriva al risultato 2/x^-alfa, che in ogni caso non cambia il valore di convergenza rispetto a 1/x^-alfa che viene indicato. Ovvero sempre alfa<-1, per questo integrale. Personalmente lo avrei lasciato nella forma x^alfa anziché 1/x^-alfa (o diciamo, 2/x^-alfa), comunque sempre equivalente.

NameNick321

Giulio_M sinh(x) = (ex-e-x)/2
cosh(x) = (ex-e-x)/2
cosh(x)2 - sinh(x)2 = 1

Ma come dovrei sapere tutte queste cose… so solo la terza!! (Che spesso tra l’altro dimentico, nel senso che penso sia sin² - cos² )
Giuro che se al compito di settembre trovo seno/ coseno/ senh/ cosh e simili passo direttamente avanti! Mi hanno stancato, non sono fatti per me… mi accontento di radici, logaritmi ecc, ma goniometria e trigonometria io ci rinuncio

zeunig356

Perché sinh x = (e^x-e^-x)/2
e all'infinito va come e^x/2

Giulio_M

NameNick321 mah oddio, è vero che fra una cosa e l'altra le formule in totale sono molte... La terza volendo è l'unica che non ti serve nel senso che la puoi ricavare. Funzioni iperboliche non sono frequenti nei compiti tanto quanto le altre, in genere, ma si tratta comunque di due formule (sinh(x) e cosh(x)), dai queste due le impari.