Integrale improprio dubbio

NameNick321

Ai fini dell’esercizio a cosa sarebbe servito il calcolo del limite per il valore assoluto che fa +inf? Non ho capito l’utilità? Inoltre se non ci fosse stato il valore assoluto allora il limite faceva -infinito?

@Giulio_M @zeunig356

Giulio_M

NameNick321 essendoci valore assoluto e trattandosi di integrali impropri, direi che sicuramente ha usato il criterio del confronto asintotico per dimostrarne la convergenza ("se la serie converge assolutamente, allora converge"). Credo che formalmente la dimostrazione della convergenza si debba fare prima di procedere con la risoluzione dell'integrale improprio (credo di sì, correggimi se sbaglio). In questo caso il limite viene calcolato (al di là del modulo) per x-->2 poiché è un integrale improprio diverso dai soliti in cui ad essere indefinito è un estremo di integrazione (es. integrale fra 0 e infinito di una certa f(x)). Qui invece hai un intervallo limitato, ma il valore della funzione in un punto dell'intervallo (x=2) è illimitato, annulla il denominatore. La funzione f(x) non è derivabile in quel punto, ma è comunque integrabile nell'intervallo, il risultato è finito.

NameNick321

Giulio_M essendoci valore assoluto

Ma nell’esercizio di partenza non c’è nessun valore assoluto Comunque si, la dimostrazione della convergenza va sempre fatta prima di procedere col calcolo vero e proprio. Però in questa raccolta del mio prof di esercizi fatti c’è direttamente il calcolo senza dimostrazione della convergenza la quale è fatta a parte in un’altra raccolta per altri integrali. Questa raccolta serviva solo per calcolarli, non per dimostra la convergenza (infatti alcuni di questi esercizi divergono)

Quindi no non credo abbia fatto quella roba del valore assoluto per dimostrare la convergenza perché in questa raccolta di esercizi non dimostra la convergenza di nessun integrale. Ovviamente poi al compito d’esame chiede SEMPRE la dimostrazione che converge ma questa raccolta serve solo per i calcoli degli integrali

NameNick321

Giulio_M ma lo so che in 2 non è definita dato che si annulla il denominatore , ma non capisco perché fare il valore assoluto e fare il limite per quello

Giulio_M

NameNick321 Ma nell’esercizio di partenza non c’è nessun valore assoluto

Certo, però fra i criteri di convergenza c'era appunto quello della convergenza assoluta: "se converge in valore assoluto, allora converge". Oltre a questa situazione, può essere anche utile dove hai andamento oscillatorio con seno e coseno ad esempio.
Io credo che abbia fatto comunque lo studio in valore assoluto per dimostrare la convergenza, magari dandolo per scontato, senza spiegazioni (semplice automatismo), più che altro fuori da questa ipotesi, non avrebbe alcun senso farlo, dato che vai anche a modificare la funzione di partenza (modulo di f(x) anziché f(x)). Credo sia l'unica spiegazione.

zeunig356

Penso che abbia usato un criterio di convergenza

Ponendo t = x - 2 hai il classico S_[-2,0] t^-1/3 dt

che é del tipo S_[u,0] t^-q dt con l'integrando singolare in zero.

Per la dimostrazione della convergenza di un integrale come questo si osserva che

la primitiva t^1-q/(1-q) + C tende ad un valore finito (zero + C) per t->0 se l'esponente é

positivo 1 - q > 0 => q < 1. Nel nostro caso q = 1/3 e l'integrale converge.

NameNick321

zeunig356 boh mi sembra strano perché questa raccolta serve esclusivamente per i calcoli degli integrali, non per la convergenza infatti in nessun esercizio della raccolta c’è scritto “converge per il criterio bla bla” mentre un’altra raccolta è appositamente dedicata alla prova della convergenza e lì si, viene fatta per ogni integrale in modo rigoroso.

Inoltre si c’è quella roba del valore assoluto ma non c’è scritto a parole “quindi per il criterio bla bla l’integrale converge” o cose del genere che di solito lui scrive serve in modo preciso ecc
Boh forse l’ha fatto istintivamente per abitudine ed è rimasto così. Fa niente