Equazione differenziale secondo ordine

“Risolvi con il metodo di variazione delle costanti arbitrarie di lagrange”

Quindi sostanzialmente con determinanti (Wronskiano)

Io ho provato ma non mi viene.

y’’ + y’ = (e^x) / (e^x + 5)

Soluzione:

y(x) = c1 + c2 e^-x + (1+5 e^-x) * ln (e^x + 5)

E' semplice, ma poiché il secondo ordine é solo finto, faccio una poderosa abbreviazione di calcolo

Integrando rispetto a x abbiamo subito

y' + y = ln (e^x + 5) + C1

e per l'omogenea associata a questa yo(x) = C e^-x

Per la variazione delle costanti y = v(x) e^-x

per cui omettendo alcune delle dipendenze da x per brevità

v' e^-x + v e^-x * (-1) + v e^-x = ln (e^x + 5) + C1

v' e^-x = ln (e^x + 5) + C1

v' = e^x ln (e^x + 5) + C1 e^x

v(x) = S ln (e^x + 5) d(e^x) + C1 e^x + C2 =

= [ t ln t - t ]_(t = e^x + 5) + C1 e^x + C2 =

= (e^x + 5) ln (e^x + 5) - (e^x + 5) + C1 e^x + C2

= (e^x + 5) ln (e^x + 5) + (C1 - 1) e^x + C2 - 5 =

= (e^x + 5) ln (e^x + 5) + C1 e^x + C2

y(x) = v(x) e^-x = (1 + 5 e^-x ln (e^x + 5) + C1 + C2 e^-x.

zeunig356 potresti risolverla considerandola di secondo ordine con il determinante?

zeunig356 potresti risolverla considerandola di secondo ordine con il determinante?

zeunig356 mi sono fermato qui e non so neanche se è giusto

NameNick321 @zeunig356 fino a qui è giusto? Oppure nel primo determinante sotto l’1 non ci vuole un altro 1, ma “x”