NameNick321 Fai due esempi di funzioni che non ammettono primitive e spiega perché non tutte le funzioni ammettono primitive giustificando la risposta. Perché quando si parla di primitive di una funzione occorre essere su un intervallo “I” e non su un insieme qualsiasi? Spiega perché se una funzione ammette una primitiva allora ne deve ammettere infinite (ok perché si può aggiungere una costante c arbitraria, ma in un ipotetico esame di Analisi come dovrei spiegarlo per bene con linguaggio scientifico) ? Spiega il motivo per cui la definizione di “INTEGRALE INDEFINITO” è giustificata dal “TEOREMA DI CARATTERIZZAZIONE DELLE PRIMITIVE DI UNA FUNZIONE SU UN INTERVALLO” Quali sono le principali classi di funzioni integrabili secondo Riemann? Cosa cambia tra “funzione integrabile secondo Riemann” e “integrale definito” ? Qual è il significato geometrico della “MEDIA INTEGRALE”? Spiega perché è SBAGLIATO dire che un integrale definito rappresenta l’area sottesa al grafico di una funzione nell’intervallo a;b Quali sono le principali proprietà della “FUNZIONE INTEGRALE”? Le proprietà dell’ integrale definito esteso a un intervallo orientato concorrono a dare una definizione di funzione integrale che sia FLESSIBILE? Se si perché? In ogni caso giustifica la risposta La continuità di una funzione f rappresenta una condizione necessaria per l’esistenza delle primitive di f su un intervallo? Giustifica. Esamina le differenze tra integrale improprio e integrale a valore principale Quali sono gli integrali impropri notevoli?
Giulio_M NameNick321 intanto vedo quelle a cui riesco a rispondere ora 🙂 la funzione sgn(x) ovvero "segno di x", per definizione <<se la funzione è continua su un intervallo allora esiste la primitiva>> (anche se magari non la si sa esprimere in forma elementare, vedi il caso di e-x2) quindi se è a gradino, non ha primitiva; funzioni come e-x2, 1/ln(x) ecc, non ammettono primitiva elementare (quindi integrale risolvibile con le tecniche standard) Per definizione, la primitiva F(x) è la funzione tale che la sua derivata coincide con la funzione integranda per ogni punto appartenente all'intervallo I; quindi tale legge è valida nell'intervallo (in altre parole esistenza e l'unicità di una primitiva non sono garantite per ogni funzione e per ogni insieme) Se F(x) è primitiva di f(x) allora anche F(x)+C lo è, per ogni C appartenente all'insieme dei numeri reali <<Sia f una funzione continua su un intervallo I. Se F è una funzione derivabile su I tale che F'(x) = f(x) per ogni x in I, allora per ogni costante C, la funzione G(x) = F(x) + C è anche una primitiva di f su I. Inoltre, tutte le primitive di f su I differiscono l'una dall'altra per una costante>>, quindi condizione necessaria e sufficiente per dire che primitiva e integrale definito indefinito sono equivalenti (l'integrale indefinito fornisce gli infiniti risultati dato che abbiamo la costante C) Funzioni continue, funzioni discontinue con numero finito di discontinuità, funzioni definite a tratti L'integrale di Riemann è l'approssimazione (somma dei rettangolini) su base geometrica della curva sottesa alla funzione; l'integrale definito, per definizione è il valore (esatto) dell'area (operativamente risolvi l'integrale indefinito e sostituisci i valori, non stai facendo un'approssimazione numerica sommando rettangolini, trapezi o altro che sia) Il rapporto fra l'integrale definito e la lunghezza dell'intervallo (quindi un'ipotetica altezza media equivalente) Credo sia per mancanza di condizioni (funzione continua, ecc) e anche ad esempio per i valori negativi; area totale in valore assoluto vs somma algebrica (ad esempio parti che stanno sopra l'asse delle ascisse, parti che stanno sotto... Dipende quindi dalla funzione, vedi es. x2 oppure -x2)
NameNick321 Giulio_M quindi comdizione necessaria e sufficiente per dire che primitiva e integrale definito sono equivalenti (l'integrale indefinito fornisce gli infiniti risultati dato che abbiamo la costante C, integrale definito invece garantisce l'unicità essendoci l'intervallo I) Perché a volte scrivi “DEFINITO” anziché indefinito? Il discorso non dovrebbe essere tutto riferito ai soli integrali indefiniti? Cioè, nella domanda si parla di indefiniti, non definiti
Giulio_M NameNick321 oddio sorry, il motivo è la fretta e distrazione! Sì certo, si intende la risoluzione analitica quindi integrale indefinito, confermo (non definito, ho sbagliato io a scrivere).
