Equazione in campo complesso

NameNick321

z¹⁰ = (1-1i) ⁵

Come si risolve? Non penso che devo mettermi per 10 volte a fare la formula del teorema delle radici n-esime di un numero complesso

Forse devo scrivere z¹⁰ come p¹⁰ e^i10θ ?

@zeunig356

Giulio_M

NameNick321 ricordo poco dei numeri complessi, comunque farei così:

z = a+bi = Re(z) + Im(z)
a = 1, b = -1
modulo = √(a²+b²) = √2
argomento = arctan(b/a) = arctan(-1) = -π/4

Quindi: (1-i) = √2 * e^{-π/4 i} --> (1-i)⁵ = 2^5/2 * e^{-5/4 π i}
Dato che z¹⁰ = (1-i)⁵, qui farei (ipotesi mia, quest'ultimo passaggio non sono sicuro si possa risolvere così):
z = √(1-i) = 2^1/4 * e^{-π/8 i}
Poi eventualmente la periodicità +2kπ

NameNick321

Giulio_M innanzitutto l’argomento per convenzione é compreso tra [0;2pigreco[ quindi -5/4 pi greco e -pigreco/4 non vanno bene

NameNick321

Giulio_M ma invece non potrei mettere la radice quinta ambo i membri e dunque fare

z² = (1-1i)¹

E quindi avere 2 soluzioni anziché 10?

NameNick321

NameNick321 @zeunig356 é ammissibile un’operazione del genere?

zeunig356

r¹⁰ e^{i 10@} = rad(2) e^{- i pi/4}

r = 2^1/20

10@ = - pi/4 + 2 k pi k = 0 ... 9

z[k] = 2^1/20 e^{-i pi/40 + k pi/5} con k = 0...9

NameNick321

zeunig356 potresti farlo ponendo l’argomento compreso tra [0,2pigreco[ ? Il mio prof di analisi non vuole l’argomento col - quindi non va bene per lui -pigreco/4

zeunig356

allora dovrebbe andare bene l'angolo che ha per coseno 1/rad(2) e per seno -1/rad(2)

si trova nel quarto quadrante ed é - pi/4 + 2 pi = 7/4 pi

sostituisci a - pi/4 e sarà equivalente. Passo e chiudo.