Esercizio limite analisi 1

NameNick321

Giulio_M

NameNick321 beh ovviamente ti conviene applicare Taylor (e credo sia questa l'unica strada), quindi per x-->0 puoi riscrivere: 1-x²/2+O(x³)

Quindi: limite per x che tende a zero di (1 - x²/2)^1/xⁿ

per n<=1: risulta 1
per n>1 abbiamo due casi:
- n=2: risulta 0,60653 che, solo grazie all'intuito ho poi capito essere pari all'inverso di radice di e, ovvero √(1/e) = e^-1/2, probabilmente un limite notevole che non conoscevo
- n>2: risulta 0

Edit.
Riflettendoci, ho trovato (ad intuito poiché non la conoscevo, comunque confermato dai calcoli) questa regola generale:
(1-xⁿ/n)^1/xⁿ = e^-1/n, puoi verificarlo infatti con n=3 e così via.

Monica Alius Acquarius

NameNick321 ciao apple lover

NameNick321

@Giulio_M @zeunig356

NameNick321

Giulio_M 1-x2/2+O(x3)

Quali sono i passaggi per arrivare a questa cosa?

Giulio_M

NameNick321 Quali sono i passaggi per arrivare a questa cosa?

Oddio, ma è il solito sviluppo in serie di Taylor! Studialo perché non è difficile e ti torna utilissimo in molti esercizi... Davvero, vale la pena conoscerlo. Comunque funziona così:
f(x) ≈ f(x0) + f'(x0)(x-x0) + (1/2!)f"(x0)(x-x0)² + O(x³), per x-->x0
Volendo puoi andare avanti con l'ordine che vuoi.
Sostituendo, f(x)=cos(x), x0=0, quindi calcoli il coseno di 0 che è 1, il seno di 0 che è 0 e infatti se vedi il termine è nullo, il successivo termine è appunto (1/2)x².
Gli sviluppi in serie principali, tipo seno e coseno, li puoi anche ricordare a memoria. Comunque la procedura, se devi fare il calcolo, è quella scritta. Studia Taylor!! 🙂

NameNick321

Giulio_M puoi andare avanti con l'ordine che vuoi.

Ma tu come hai deciso dove fermarti? Qual é il numero minimo in questo caso e come si deduce?

NameNick321

Giulio_M + O(x3)

Ma questa parte va messa in qualsiasi caso indipendentemente da logaritmo, seno, coseno ecc? Cioé la parte finale é sempre O(x³) ?

Giulio_M

NameNick321 fermarsi al primo termine (1) non è utile (resta indeterminato), occorre arrivare al primo termine polinomiale, grado della variabile almeno pari all'unità (non essendoci x, quindi vai a x²). Andresti oltre con lo sviluppo di Taylor se ad esempio a denominatore hai termini con x³ o maggiori, in quel caso è quindi bene che l'ordine sia maggiore o uguale altrimenti rischi che sia indeterminato.

NameNick321 Cioé la parte finale é sempre O(x3) ?

Sì, perché significa dire "più i termini di ordine superiore", diciamo che è una formalità che per correttezza va indicata, sì , per qualunque tipologia di sviluppo (seno, logaritmo, ecc) dato che stai trasformando" una funzione in un polinomio. Non è sempre O(x³), dipende dall'ordine a cui ti fermi, se ti fermi all'ordine 2 metti +O(x³), se ti fermi all'ordine 1 metti +O(x²), la logica quindi è questa.

NameNick321

Giulio_M scusa ho controllato nelle dispense del prof ma lui non cita quasi mai taylor. C’é quasi sempre scritto Bachmann Landau e McLaurin. Sono sinonimi con Taylor?

Giulio_M

NameNick321 si si certo, sono sinonimi! Io la chiamo sempre "serie di Taylor" per comodità, in realtà sono anche noti come Sviluppi di Taylor - Mc Laurin. Quindi l'argomento da studiare è comunque quello.