Dubbi passaggi integrali

NameNick321

Prima e dopo le parti evidenziate ci sono, ho capito. Ma non ho capito cosa ha fatto col valore assoluto.

| 1 - e^-(x) | perché lo scrive in quel modo??

Ma poi in teorica secondo me
dovrebbe essere che viene uguale a

1 - e^-(x) per x > 0

-1 + e^-(x) per x <0

O no??
Poi perché ha diviso per e^x ? E se divide non deve anche moltiplicare per la stessa quantità? Ma io qui vedo solo diviso… non ho capito letteralmente nulla di ciò che ha fatto… stavolta proprio 0 totale

NameNick321

NameNick321 @Giulio_M @zeunig356

zeunig356

A me sembra molto semplice

Prima ha usato il fatto che sqrt(y²) = |y| per la convenzione sui radicali.

Poi e^x - 1 >= 0 per x >= 0 e quindi é negativo in un intervallo di soli negativi.

Pertanto in tale intervallo | e^x - 1 | = - (e^x - 1) = 1 - e^x ed il seguito é chiaro.

NameNick321

zeunig356 ma dove sarebbe e^x -1 ?

C’è scritto valore assoluto di 1 - e^-x

zeunig356

NameNick321 nel secondo rigo in azzurro

NameNick321

zeunig356 ma perché divide per e^x ? Non l’ho capito. Se divide dovrebbe anche moltiplicare

Giulio_M

NameNick321 no, attenzione che non significa fare qualcosa del tipo * x/x ovvero moltiplicare e dividere per la stessa quantità, cioè per 1.
Qui stai invece facendo un'altra cosa, ovvero:
(e^x - 1)/e^x = 1 - e^-x
Nel tuo caso, avevi prima la forma scritta a secondo membro, hai ricavato quella che ho scritto a primo membro.
Quindi nell'integrale, se vedi è equivalente: prima avevi il logaritmo diviso 1 - e^-x (in valore assoluto, i termini comunque sono questi), poi hai sostituito il denominatore con quella nuova forma e dato che sarebbe diviso e^x, questo e^x va a numeratore. Se segui bene i passaggi, vedi che è corretto così.

NameNick321

Giulio_M

Bho non riesco a capirlo.

Io ho al denominatore dell’ integrale semplicemente

| 1 - e^ -x |

Per me questa quantità va riscritta uguale, senza valore assoluto, solo se tutto ciò che dentro il valore assolutamente é >=0 mentre se è <0 va riscritta cambiando tutti i segni.

Invece non capisco né il perché ha fatto quest’altra cosa né perché sia valida. Cioè anche se avessi capito i passaggi, che non ho capito, ad ogni modo non vedo perché dovrei fare una cosa del genere, anche ammesso che sappia perché sia valida.

Quel e^x che spunta a denominatore nell’ integrale di partenza non c’era né a numeratore né a denominatore. A me sembra tirato fuori dal nulla. Non ho capito il senso di tutto ciò

Giulio_M

NameNick321 Per me questa quantità va riscritta uguale, senza valore assoluto, solo se tutto ciò che dentro il valore assolutamente é >=0 mentre se è <0 va riscritta cambiando tutti i segni.

Ecco, avresti ragione, ma in questo caso se sostituisci gli estremi in 1-e^-x vedi che in entrambi i casi il risultato è positivo (0,5 in un caso e 0,75 nell'altro).

NameNick321 Quel ex che spunta a denominatore nell’ integrale di partenza non c’era né a numeratore né a denominatore. A me sembra tirato fuori dal nulla. Non ho capito il senso di tutto ciò

Forse non è intuitivo, ma prova a fare il passaggio inverso! Allora, e^x/e^x è pari a 1, sei d'accordo. Mentre e^-x è uguale a 1/e^x.
Quindi 1-e^-x lo puoi riscrivere come e^x/e^x - e^-x = (e^x-1)/e^x