Come risolvere l’ integrale indefinito di tangente al quadrato di x dx?

NameNick321

C’é un modo senza secante? Perché onestamente non mi ricorderò mai che tan² x = sec² x - 1

E non ricorderò neppure che l’ integrale di sec² x dx = tan x

Quindi posso andarci per altre vie? Magari anche con più passaggi, ma l’importante che non devo imparare le ennesime formule trigonometriche. Sono un miliardo.

Giulio_M

NameNick321 certamente ricordare le formule trigonometriche, aiuterebbe. Altrimenti puoi fare così, ma la strada diventa più lunga (e forse un po' si complica anche):
tan²(x) = sin²(x)/cos²(x) = sin²(x)/(1-sin²(x)), puoi sostituire quindi ad esempio sin(x)=t, x=arcsin(t), dx=1/√(1-t²)dt
Quindi ∫ t²/(1-t²) * 1/√(1-t²)dt

zeunig356

Vogliamo provare così ?

1/sqrt(1 + tg²(x)) = cos x

sqrt(1 + tg²(x)) = 1/cos(x)

1 + tg²(x) = 1/cos²(x)

tg²(x) = 1/cos²(x) - 1

per cui

S tg²(x) dx = S 1/cos²(x) dx - S dx = tg x - x + C

zeunig356

altro metodo

tg x = t

x = arctg t

dx = 1/(1 + t²) dt

S tg²(x) dx = S t²/(1+t²) dt = S (1 - 1/(1 + t²)) dt = t - arctg(t) + C = tg x - x + C