Come risolvere integrale indefinito

NameNick321

cos⁴ (x) * x dx usando il metodo per parti

Soluzione 3/8 x +1/2 senx - 1/16 sen(2x) + c

Giulio_M

NameNick321 non so se sia il modo più rapido, ma puoi fare così:
∫ x * cos⁴(x) dx = ∫ x * (cos²(x))² dx
Dopodichè, da cos²(x) - sin²(x) = cos(2x) e sin²(x) + cos²(x) = 1 ricavi cos²(x) = (1/2)(1+cos(2x))
Quindi riscrivi:
∫ (x/2)(1+cos(2x))² dx = ∫ (x/2)(1+cos²(2x)+2cos(2x)) dx =
∫ x/2 dx + ∫ cos(2x) dx + ∫ (x/2)cos²(2x) dx
I primi due li risolvi easy, il terzo è quello più complicato, in cui applichiamo anche il metodo per parti, quindi per questo integrale hai:

f = x quindi f' = 1
g' = cos²(2x) quindi g = (1/8)(4x+sin(4x)), se non conosci l'integrale, lo risolvi a parte

Quindi in totale, compresi gli altri pezzi, si ottiene:
x²/4 + (1/2)sin(2x) + (1/2)((x/8)(4x+sin(4x))-(1/8)∫(4x+sin(4x) dx) =
(3/8)x² +(1/2)sin(2x) +(1/16)sin(4x) + (1/64)cos(4x) + C
Spero di non aver sbagliato conti 😁 Poi essendoci relazioni trigonometriche, non escludo che "lavorandoci" con varie sostituzioni, entrambi i risultati siano equivalenti.

NameNick321

@Giulio_M @zeunig356

NameNick321

Giulio_M ma invece come posso risolve 1/ (x² + 16)² dx

Ho provato a fare Ax+ B /… + Cx+D/…

Ma una volta arrivato al sistema mi viene A=C=D=0 e B =1 in sostanza ritorno al punto di partenza.

Il risultato é 1/128 arctg (x/4) + 1/32 * x/ (x² + 16) + c

Giulio_M

NameNick321 un po' complicato... Prima fai così:
∫ 1/(x²+16)² * 2x/2x dx
Dopodiché applichi il metodo per parti:
f = 1/2x quindi f' = -1/(2x²)
g' = 2x/(x²+16)² quindi g = -1/(x²+16)

Migliora un po' le cose, anche se non è ancora proprio immediato... Si ottiene:
-1/((2x)(x²+16)) - (1/2)∫ 1/x² * 1/(x²+16) dx
Nell'integrale puoi fare A/x² + B/(x²+16), dato che x²(A+B)=0, 16A=1, ottieni A=1/16 e B=-1/16
Quindi:
-1/((2x)(x²+16)) - (1/32)∫ (1/x² - 1/(x²+16))dx
-1/((2x)(x²+16)) + (1/32x) - (1/32)∫1/(x²+16))dx
Resta comunque l'ultimo integrale, che è "quasi" immediato nel senso che devi far diventare +1 il +16 per poi risolverlo con l'arcotangente, mi spiego meglio: x²+16 = (1/16)( (x/4)²+1)
Quindi ora hai la soluzione:
~~-1/((2x)(x²+16)) + (1/32x) - (1/128)arctan(x/4) + C~~
Edit: -1/((2x)(x²+16)) + (1/32x) + (1/128)arctan(x/4) + C, avevo sbagliato un segno.
1/128 l'ho ottenuto perché sarebbe stato 1/(16 * 32) * 1/(1/4) = 4/(16 * 32).

Ho verificato e le due soluzioni coincidono! In realtà non ci speravo di riuscire a risolverlo 😂 😂

NameNick321

Giulio_M -1/((2x)(x2+16)) + (1/32x) - (1/32)∫1/(x2+16))dx

Ma la parte dell’arcctg secondo me dovrebbe essere positiva perché è -3/2 S -1 /x²+16 dx quindi - * - fa + e dunque dovrebbe venire poi +1/128 arctg (x/4)

O sbaglio?

NameNick321

Giulio_M 1/((2x)(x²+16)) + (1/32x)

Ok, l’ultima cosa. Nel risultato del testo al posto di questa roba qui c’è scritto (1)/(32) * [ (x) / (x² + 16) ]

Non riesco a capire perché le due cose siano equivalenti e dunque per quale motivo sono entrambi corretti

Giulio_M

NameNick321 quindi - * - fa +

Ah sorry, si si certo è così! Ho sbagliato a ricopiare io, infatti c'era un doppio segno meno, quindi è positiva, confermo.

Giulio_M

NameNick321 beh, dalla mia risoluzione, sono arrivato a quel risultato. Per verificare che sono equivalenti, basta che imposti questi due termini come equazione (poi fai MCD, semplifichi e vedi infatti che coincidono).