Riguardo gli integrali con delta al denominatore minore di 0

NameNick321

Ieri parlavo di usare i numeri complessi ed effettivamente investigando piú a fondo ho visto che conviene usarli.

Ad esempio integrale indefinito di 1/ (x² -x + 1) dx

Delta -3 —> -3<0 Delta negativo

Usando la formula -b + - i * radice di - Delta si ha che le radici del polinomio sono 1/2 + i rad3/2 e 1/2 - i rad 3/2 quindi x² - x + 1 si scompone in (x-1/2) ^ 2 + (rad3 / 2)²

Cioè (x - parte reale, tutto al quadrato) + (parte immaginaria al quadrato)

Così viene più facile secondo me di fare Ax+ B …o quel che era

Non conoscevo questa formula secondo cui un polinomio si scompone con la formula

(x - parte reale, tutto al quadrato) + (parte immaginaria al quadrato)

NameNick321

NameNick321 @Giulio_M @zeunig356

Giulio_M

NameNick321 solitamente no, in analisi 1 si evita di entrare in campo complesso (se sei in campo reale, cerchi di restare in campo reale).
Nel caso ∆<0 si cerca quindi di risolvere in altro modo, tramite sostituzione... Se si triva qualcosa di funzionale, oppure metodo per parti (sbattendoci anche un po' la testa, con alcuni integrali si va anche per tentativi).
In linea di principio comunque la risoluzione si può fare anche in campo complesso quindi es. x²+1 = (x+i)(x-i), vedi questo esempio:
Integrale di 1/(x²+1), sai che è arctan(x), va bene. Ma proviamo invece a scomporlo, quindi entriamo nel campo complesso:
A/(x+i) + B/(x-i), ti risparmio i conti, se tratti poi l'unità immaginaria come una costante moltiplicativa (di fatto lo è) abbiamo:
Integrale di (i/2) * (1/(x+i) - 1/(x-i)), quindi risulta (i/2) * ln|(x+i)/(x-i)|
Eseguendo la derivata, otteni comunque soddisfatta la verifica (dal momento che avevi scomposto x²+1 entrando in campo complesso). Poi se al docente anziché arctan(x) presenti un logaritmo coi numeri immaginari, non so cosa possa dire 😂 scherzi a parte, matematicamente vedi che si può fare, in effetti viene verificato il risultato, certo è che sei poi in campo complesso e il risultato può essere "troppo astratto" rispetto all'analogo reale come arctan(x). Quindi se puoi, negli esercizi (almeno finalizzati all'esame!!) cerca sempre una risoluzione più standard, probabilmente tramite sostituzione se vedi che il metodo per parti incasina ancora di più.

NameNick321

Giulio_M ma non ho usato i numeri complessi in se! Ho usato la formula per scomporre il polinomio con delta negativo!

Guarda qui per esempio… io dico usare i numeri complessi in questo senso!

Per scomporre il polinomio!

Giulio_M

NameNick321 ah ok ho capito, beh discorso analogo, se l'equivalenza è comunque verificata, va bene, di fatto è corretto. Poi ai fini dell'esame cercherei di usare metodi standard (o almeno chiedere prima al docente), per essere sicuro che lo accetti (giusto o non giusto, c'è anche quella variabile...). Comunque nello specifico non avevo mai pensato a questa formula.

NameNick321

Giulio_M ma infatti non ho capito che senso abbia e perché sia sempre valida, ma l’ha usata il prof nostro un po di lezioni fa. Non so perché sia così. L’ho imparata a memoria e basta

zeunig356

NameNick321 Perché in molti casi abbrevia i calcoli.

NameNick321

zeunig356 certo che abbrevia i calcoli. Ma non capisco perché sia una formula valida e funzionante, questo era il senso del mio commento

zeunig356

NameNick321 Perché le operazioni nel campo complesso sono compatibili all'indietro, significa che devono restituire lo stesso risultato se applicate ad elementi dell'insieme precedente.