Risoluzione integrale definito completa

NameNick321

zeunig356

Hai provato con le formule parametriche ?

NameNick321

zeunig356 no, non so da dove partire. Giá come integrali sono scarso perché é da un anno che non ne faccio, se poi aggiungiamo anche la goniometria ancora peggio…due tra le cose che so meno in assoluto, tra l’altro non ho neanche il risultato

NameNick321

zeunig356 photomath non é in grado di risolverlo

zeunig356

Ci possiamo provare ma a piccoli passi

Ponendo tg (x/2) = t

x/2 = arctg* (t)

x = 2 arctg*(t)

dx = 2/(1 + t²) dt

2/(1 + t²) dt / [ 6t/(1 + t²) + 4(1 - t²)/(1 + t²) ] = dt / (3t + 2 - 2t²)

-(2 t² - 3t - 2) = -( 2t² - 4t + t - 2 ) = -[ 2t(t - 2) + (t - 2) ] = - (t - 2) (2t + 1)

e quindi potrai procedere con l'usuale decomposizione in fratti semplici

A/(t - 2) + B/(2t + 1)

con A(2t + 1) + B(t - 2) = - 1 per ogni t

che si separa in 2A + B = 0 e A - 2B = -1

B = -2A => A + 4A = - 1 => A = -1/5 mentre B = 2/5

Riscrivi allora 1/5 S ( 2/(2t + 1) - 1/(t - 2) ) dt = 1/5 ln |(2t + 1)/(t - 2)| + C =

= 1/5 ln | ( 2 ln tg x/2 + 1 )/ (ln tg x/2 - 2) | + C

NameNick321

zeunig356 wolphram alpha o altri calcolatori danno lo stesso risultato?

zeunig356

1/5 ln | (2 tg (x/2) + 1)/(tg (x/2) - 2) |

Nota : Sembra corretto, perché é coerente col valore che dà Wolfram sostituendo gli estremi

Infatti

per b = pi/3 1/5 ln |( 2*rad(3)/3 + 1)/(rad(3)/3 - 2)| = 0.083026

per a = 0 1/5 ln 1/2 = - 0.2 * 0.693 = -1.386

e la differenza dà 0.2216 come afferma Wolfram

https://www.wolframalpha.com/input?i=integrate+1%2F%283+sin%28x%29+%2B+4+cos%28x%29%29+dx+from+0+to+pi%2F3