Lino Sasso è sbagliato considerarli sinonimi; il modem è il dispositivo che ti consente di navigare in internet (modem ADSL o Fibra, si connette al servizio offerto dal tuo ISP), la connessione puoi essere wireless o cablata. Il router di per sé è un dispositivo wireless, non è legato alla connessione internet (quindi rete globale) ma puoi vederlo come un dispositivo di rete locale, che distribuisce, amplifica il segnale e gestisce i dispositivi connessi. Per farti un esempio, all'università c'era la rete "unitn", non può significare un unico modem in tutto l'ateneo, altrimenti a parte il numero di utenza, anche come superficie il segnale non riuscirebbe ad arrivare ovunque, quindi c'erano diversi router, che servivano da ripetitori. Ci si connette quindi al ripetitore più vicino (che questo poi, collegandosi anche al modem principale connesso ad internet, consente appunto la navigazione online, altrimenti se non ci fosse potresti lavorare in una rete locale, tipo Intranet).
Oggi quello che acquisti per connetterti ad internet è sempre un modem (il termine modem/router magari viene usato, per quanto già detto, perché si confondono i due termini, di per sé la funzione che fa è quella del modem). Il router lo prendi se hai bisogno di un ripetitore di segnale (quindi diciamo un'antenna extra) o per esigenze molto specifiche come creare una rete solamente locale, isolata da internet.
