Problemi di geometria

Ciaoatuttisonoio

Salve ragazzi , sono in 1 superiore e la prof mi ha assegnato questi tipi di problemi per casa , ora io sono riuscito a farne una decina di questo tipo ma questi 6 problemi non capisco lo svolgimento probabilmente star sbagliando qualcosa, potreste farmi vedere lo svolgimento dei problemi e ovviamente se non vi disturba come si disegnano ?

Grazie anticipatamente a colui/colei che mi risolvera questi problemi

1)E ' dato il triangolo isoscele ABC di base BC si prolunghino , oltre il vertice A , i due lati BA e CA rispettivamente di due segmenti AE e AD congruenti tra loro . Dimostra che segmenti BD e CE sono congruenti

2)E ' dato l'angolo rs di vertice O. Sulla semiretta r si considerino i punti A e B e sulla semiretta s i punti P e Q in modo che sia OA = OP e OB ≈ OQ . Dimostra che AQ = BP .

3) Siano AH e BK le bisettrici degli angoli alla base di un triangolo isoscele ABC . Dimostra che CK = CH

4)E ' dato il triangolo isoscele ABC ; sulla base AB si prendano i punti R e S tali che ARBS . Dimostra che il triangolo CSR è isoscele .

5)Un triangolo isoscele è diviso in due triangoli dalla bisettrice relativa all'angolo al vertice . Dimostra che i due triangoli sono congruenti .

6) Dato un triangolo ABC , si prolunghi la mediana AM di un segmento MP = AM . Dimostrare che BP = AC e PC = AB .

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Poiché il triangolo ABC è isoscele, abbiamo AB = AC. Inoltre, AE = AD per ipotesi. Quindi AB + AE = AC + AD, cioè BE = CD. Ora, poiché i triangoli ABD e AEC sono congruenti per il criterio LAL, abbiamo BD = EC.
Dato che OA = OP, abbiamo l'angolo OAP = l'angolo OPA. Inoltre, poiché OB ≈ OQ, abbiamo l'angolo OQB ≈ l'angolo BOQ. Quindi l'angolo AQB = l'angolo OPA + l'angolo BOQ ≈ l'angolo OAP + l'angolo BOQ = l'angolo AOB. Ma l'angolo AOB è un angolo piatto, quindi AQB è un angolo piatto. Pertanto, AQB è un triangolo isoscele, cioè AQ = BP.
Poiché il triangolo ABC è isoscele, abbiamo AB = AC. Ora, poiché AH e BK sono le bisettrici degli angoli alla base, abbiamo l'angolo BAH = l'angolo CAK e l'angolo ABK = l'angolo CBA. Quindi l'angolo BAH + l'angolo ABK = l'angolo CAK + l'angolo CBA, cioè l'angolo A = l'angolo C. Ma poiché il triangolo ABC è isoscele, abbiamo anche l'angolo B = l'angolo C. Quindi abbiamo l'angolo A = l'angolo B. Pertanto, il triangolo ABC è equilatero, e quindi CK = CH.
Dato che AR = BS (per ipotesi) e AB = AB (ovviamente), i triangoli ABR e BCS sono congruenti per il criterio LAL. Pertanto, l'angolo BSC = l'angolo ABR e l'angolo CBS = l'angolo BAR. Ma l'angolo ABR = l'angolo ABS perché AR = BS, quindi l'angolo BSC = l'angolo ABS. Pertanto, il triangolo CSR è isoscele perché ha gli angoli alla base congruenti.
Sia AD la bisettrice dell'angolo al vertice di un triangolo isoscele ABC, dove D è sul lato BC. Allora, poiché AD è la bisettrice dell'angolo al vertice, abbiamo l'angolo BAD = l'angolo CAD. Ma poiché il triangolo ABC è isoscele, abbiamo anche l'angolo BAC = l'angolo BCA. Pertanto, i triangoli ABD e ACD sono congruenti per il criterio LAL, e quindi BD = CD. Inoltre, poiché AB = AC per ipotesi, abbiamo anche i lati AB e AC congruenti. Quindi i triangoli ABD e ACD sono congruenti per il criterio LLL, e quindi i due triangoli formati dalla bisettrice sono congruenti.
Sia G il punto di intersezione di AM e BP. Poiché AM è la mediana di ABC, abbiamo AG = GM e l'area del triangolo ABP è uguale all'area del triangolo ABC diviso per 2.