Equazione differenziale

zeunig356

y'' = x² *(y + y')

con y(0) = 1 e y'(0) = 1/2.

I miei tentativi di risolverla analiticamente non hanno avuto successo.
Qualcuno ha qualche idea ?
Anche una risposta negativa circa la risolubilità in senso esatto sarebbe gradita.

Ho sentito parlare di Sturm & Liouville ma non saprei usare il loro metodo.
Grazie.

Giulio_M

zeunig356 che dire, Sturm & Liuville non lo conoscevo, l'ho trovato nei consigli di Wolfram Alpha; non ho ottenuto un vero risultato analitico completo delle CC, tuttavia:

con l'antitrasformata di Laplace, ottengo una forma che così non riesco ad integrare; in genere quando il denominatore è di secondo grado abbiamo A/(s-lambda1) + B/(s-lambda2), se A,B non sono f(s) e questa è la forma, la risoluzione in quel caso sarebbe immediata, purtroppo non è questo il caso
con il polinomio caratteristico: la procedura che è più chiara vedendola nell'immagine che segue, di fatto mi ha portato ad un risultato analitico; la verifica con la doppia derivazione complicherebbe i conti, ho lasciato perdere, la procedura comunque mi sembra corretta; per calcolare C1, C2 e quindi risolvere il probelma di Cauchy (unicità della soluzione), ho notato questo: facendo la derivata prima, avrei qualcosa del tipo exp() * x * f(). Quindi come applicare una CC del tipo Y'(0)?

Questo comunque è quanto ho ottenuto:

equazione-differenziale-Sturm-Liouville

zeunig356

Il problema é che Wolfram non dà un'integrazione esatta. Poi il polinomio caratteristico non so se si può usare con i coefficienti variabili. Con Laplace ho provato anch'io ma viene un'equazione complicata come quella di partenza.

Giulio_M

zeunig356 credo si possa usare nel senso che metti exp(integrale di...) quindi SOLO nel caso che la radice sia una costante avresti lambda*X altrimenti nel caso generale è appunto integrale di lambda(x) in dx.
A me questo risultato torna, onestamente non l'ho verificato (appunto dato che si complica facendo a mano le derivate); casomai si può fare numericamente intendo per avere la verifica della soluzione analitica scritta. (se la CC sulla derivata prima "complica" le cose, eventualmente se ne imposta una diversa, giusto per vedere se torna il risultato).

Giulio_M

@zeunig356 per curiosità, ho fatto una prova numerica, nel range [0,1] con le CC della consegna. Per il metodo numerico, la condizione sulla derivata prima (backward quindi (Yi - Yi-1)/dx) mi porta a definire V[0] e la condizione al contorno su Y, mi porta a definire V[1]. Questo quindi comporta una traslazione (altrimenti è come se fossimo partiti dall'indice -1 anziché 0, quindi poi l'ho semplicemente shiftato +1, lo preciso altrimenti vedendo solo il codice forse non è chiaro). La procedura mi sembra corretta, a me risulta come mostrato di seguito.

Codice in Python:
#y"=x^2(y+y') import numpy as np from matplotlib import pyplot as plt N=100 V=np.zeros(N) dx=1.0/N V[0]=1-0.5*dx #y'(0)=1/2 V[1]=1 #y(0)=1 #y'=(1-y(i-1))/dx=1/2 plt.figure() for i in range(2,N): V[i]=2*V[i-1]-V[i-2]+dx*dx*((i*dx)**2+(V[i-1]-V[i-2])/dx-V[i-1]) plt.plot(i*dx,V[i],'o') plt.show()

Grafico:
equazione-differenziale-sturm-liuville-matplotlib-python.png

zeunig356

Ho visto una simulazione su GeoGebra e la serie fornita da Wolfram. Esse concordano sul fatto che la curva soluzione é sempre positiva ( per t >= 0 ) e crescente. Ovviamente non so perché.

Giulio_M

zeunig356 ok, confermo (sia la positività che monotonia per x>=0).
Ho corretto il metodo numerico con la derivata prima centrata ed è stabile (nel caso precedente era di tipo backward, all'indietro, non escludo che quindi il metodo numerico fosse instabile). Ho ampliato un po' il range, non eccessivamente visto comunque l'andamento "esplosivo".
Di fatto, nel ciclo for precedente, corretto diventa:
V[i]=(2*V[i-1]-V[i-2]+dx*dx*(i*dx)**2*(V[i-1]-V[i-2]*0.5/dx))/(1-0.5*dx*(i*dx)**2)
E questo l'andamento grafico che conferma appunto quanto detto.
screenshot equazione differenziale tipologia Sturm&Liuville - risoluzione numerica