Eventi aleatori e concerto

zeunig356

Nadia é andata ad un concerto che prevede 30 canzoni presentate in ordine del tutto casuale.
Poiché può rimanere solo un'ora ascolterà 10 brani e poi andrà via. Sapendo che quelli che le piacciono particolarmente sono 10, determinare la probabilità che

1) la parte interessante del concerto inizi dopo che Nadia se n'é andata ;
2) la parte interessante del concerto inizi subito dopo che Nadia se n'é andata.

Giulio_M

zeunig356 spero di averlo interpretato correttamente:

almeno una canzone che piace, fra le prime 10:
1-(20/30 * 19/29 *...11/21)
tutte e 10 le canzoni che piacciono, fra le prime 10:
10/30 * 9/29 * ... 1/21
nessuna canzone che piace fra le prime 10 (la parte interessante del concerto inizia dopo - non necessariamente subito - che Nadia se n'è andata):
Il complementare della prima risposta quindi 20/30 * 19/20 * ... 11/21 = 0,6%
la parte che piace (almeno una canzone) nel range 11-20 ovvero subito dopo che Nadia è andata:
significa N=20, le prime 10 tutte non piacevano e i casi favorevoli sono sempre 10 (quindi è il complementare della probabilità che tutto il range 11-20 non piaccia)
1-(10/20 * 9/19 * ...1/11)=99,9994587% (magari poi ricontrollo questo valore 😁 )
tutte quelle che piacciono sono esattamente nel range 11-20:
Il complementare della risposta precedente, un caso dato che abbiamo casi favorevoli 10 e N=20 quindi 10=20-10

zeunig356

Sinteticamente ( la soluzione analitica la metto un altro giorno )

le prime due non sono richieste

la terza é esatta, 0.00615

la quarta deve essere metà della precedente

Giulio_M

zeunig356 ah ok, certo! Data la risposta 3, la 4 dev'essere la metà poiché equivale a moltiplicare la risposta 3 per 10/20 ovvero casi favorevoli (ancora tutte le 10 canzoni) diviso casi totali (20, dato che le prime 10 sono già passate).

zeunig356

Giulio_M

Esatto.

Il problema é una istanza del seguente pattern generale :
"In un gruppo di N elementi m sono contrassegnati. Se vengono estratti in ordine casuale, qual é la probabilità che
il primo dei contrassegnati si presenti al posto (k o più) k ? "

L'evento descritto in A si verifica se nessuno degli m elementi contrassegnati in un gruppo di numerosità
N >= m capita nei primi k - 1 e quindi la sua probabilità é

Pr [A] = C(N-m, k - 1)*C(m,0)/C(N, k-1)

e per N = 30, k = 11, m = 10

Pr [A] = C(30-10, 11-1)/C(30, 10) = C(20,10)/C(30,10) = 6.15 * 10^-3

Per il punto B invece

Pr [ B ] = Pr [ nessuna fra le prime k - 1 & 1 al posto k ] =

= C(N-m, k-1)/C(N, k - 1) * m/(N - k + 1)

(N - k + 1 sono quelle rimaste )

e quindi Pr [ B ] = 6.15 * 10^-3 * 10/(30 - 11 + 1) = 6.15 * 10^-3 * 10/20 = 3.07 * 10^-3

o 1/325.